THÉORIE DES COURBES GAUCHES. 255 
de M. Bertrand ayant pour indicatrice la développante sphé- 
rique d'un petit cercle ou, ce qui revient au même, l'épicycloïde 
sphérique engendrée par le roulement d'un grand cercle sur le 
petit cercle donné. 
Nous prendrons pour axes trois diamètres rectangulaires de la 
sphère de rayon a , de façon que l'axe des z passe par le pôle P 
du petit cercle et que le plan des œz contienne l'origine A des 
arcs comptés sur le petit cercle. Si B est le point de contact du 
grand cercle mobile et M le point de la développante ou de 
l'épicycloïde, on a 
arc BM = arc BA , 
en sorte que l'angle BOM sera justement l'angle désigné par jx, 
en fonction duquel nous allons calculer toutes les quantités qui 
entrent dans les formules. 
Soit 
Ci 
le rapport du rayon de la sphère au rayon du petit cercle. 
On trouve, sans grande difficulté, par la considération du 
triangle sphérique PBM , rectangle en B , les formules 
â?o =z — (cos [j. cos|Â[j. + ^ sin [JL sin Ti]i) , 
ri 
(23) 
yv =: — (cos [X sin h[i. — h sin [x cos ft[x) , 
-STo = — /â2 _ 1 cos [X , 
da =z a /â^ — 1 sin \)jd\). , 
pour les coordonnées et l'élément d'arc de la développante (M) 
qui est l'indicatrice sphérique de la courbe cherchée. 
A cette indicatrice correspond une famille de courbes de 
M. Bertrand, caractérisées individuellement par la valeur de 
l'angle a et dont les équations générales déduites des formules 
(21)' sont, par suite, 
