256 MÉMOIRES. 
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a^W- — 1 
X-=L— — : 
Mcos [jL cos U^ + ^sin [JL sin j%[x) cos (jx — a)rf{x , 
y zz — — / (cos [X sin ft|x — ft sin [jl cos k\i) cos ([jl — a)d\t. , 
a(ft2-l) /- a(Â2— 1) 
^ r= — ^^ — r /cos[ACOs([ji— a)^tJLr= — - [sm (2[ji. - a) — 2[xcosa|. 
Lorsque ft = — r est un nombre commensurable , les valeurs 
a' 
des coordonnées x et y s'obtiennent sous forme finie et expli- 
cite. En particulier, si le nombre h est entier et impair, les 
valeurs d'x et d'y sont des fonctions entières" de sin [x et cos \k, 
en sorte que la projection de la courbe sur le plan des œy est 
algébrique, et, par suite, la courbe elle-même appartient à un 
cylindre algébrique. Mais la valeur de z est transcendante, à 
moins que le coefficient de [j,, savo'ir cos a, ne soit çul, ce qui 
exige que l'on ait a := -^ , ou que la courbe ait sa courbure conâ- 
tante. 
Nous trouvons ainsi une infinité de courbes algébriques à 
courbure constante déduite des formules (23), en donnant à a la 
valeur -^ et à ft des valeurs entières mais impaires, et une infl- 
nité de courbes de M. Bertrand appartenant à des cylindres algé- 
briques dont les génératrices sont parallèles à l'axe oz . 
Si U est un nombre entier pair, les valeurs de x, y et z sont 
transcendantes comme celle de z et les courbes sont transcen- 
dantes, ainsi que leurs projections sur le plan de xy. 
Si le nombre li est fractionnaire et représenté par la fraction 
w 
irréductible — , on posera 
[xrzzQ'ix'. 
Alors, les polynômes qui entrent sous le signe f dans les expres- 
sions des coordonnées x et y seront homogènes et de degré 
