THÉORIE DES COURBES GAUCHES. 257 
^9 -\- P par rapport à sin (x' et cos \).' . Dès lors, si p est impair, 
les deux premières intégrales seront des polynômes entiers et 
homogènes de degré ûq \- p -{- i par rapport à sin [x' et cos [>/ , 
en sorte que les courbes correspondantes appartiendront à des 
cylindres algébriques, et seront elles-mêmes algébriques dans le 
cas où leur courbure est constante. Si le nombre p est pair, 
l'intégration peut encore s'effectuer, mais comme elle amène 
des termes contenant la variable [x', les courbes sont transcen- 
dantes. 
Dans tous les cas, les rayons de courbure et de torsion seront 
donnés par les formules (22) qui sont générales. 
20. La construction du n° 28 permet de démontrer simple- 
ment un théorème que j'ai établi dans un travail antérieur*, et 
que je me propose de développer ici plus complètement. 
Pour qu'une ligne asymptoiique d'une surface minima 
soit une courde de M. Bertrand, il faut et il suffit que la 
ligne correspondante de la surface adjointe soit une ligne 
de courbure sphérique de celle-ci. 
On sait, en effet, qu'unie surface minima et son adjointe sont 
applicables l'une sur l'autre , que leurs points correspondants 
sont ceux où les plans tangents sont parallèles et que les élé- 
ments correspondants sont orthogonaux. Il résulte de là qu'aux 
asymptotiques d'une surface minima correspondent les lignes de 
courbure de son adjointe. De plus, pour que deux courbes puis- 
sent se correspondre sur deux surfaces minima dont l'une 
serait l'adjointe de l'autre, il faut et il suffit que les points de 
ces deux courbes se correspondent deux à deux, de manière que 
les éléments d'arc correspondants soient égaux et orthogonaux. 
Si ces conditions sont remplies, les développables passant par 
chacune de ces courbes et dont les plans tangents sont parallèles 
à la fois aux tangentes aux deux courbes en leurs points cor- 
respondants, sont circonscrites aux surfaces minima, qu'elles 
déterminent d'ailleurs complètement. 
* Mémoire de V Académie des sciences, inscriptions et belles- 
lettres de Toulouse, 3e série, t. II, p. 388. 
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