258 MÉMOIRES. 
Ceci posé, d'aprè* ce que nous avons dit au n» 18, une courbe | 
(0) de M. Bertrand et la courbe spbérique /K ,\ remplissent 
ces conditions. En outre,, les développables dont nous venons de 
parler sont précisément D et A . Comme I) est l'enveloppe des 
plans osculateurs de (0), celte dernière courbe sera une asymp- 
totique de la première surface minima, et, par suite, /K ^\ 
sera une ligne de courbure, d'ailleurs sphérique, de la seconde 
surface adjointe de la première. La proposition énoncée se trouve 
ainsi établie. 
On déduirait de là un nouveau procédé pour former les équa- 
tions des courbes de M. Bertrand, en employant la méthode de 
M. Schwarz, qui permet de passer d'un contour tracé sur une 
surface minima au contour conjugué de la surface adjointe, 
quand on connaît, en outre, les plans tangents à la surface le 
long du contour donné. L'application des formules de M. Sch- 
warz * au cas particulier dont il s'agit conduit immédiatement 
aux équations (21) et (21') qui définissent la courbe la plus géné- 
rale de l'espèce étudiée. 
21. Le théorème que je viens de rappeler conduit à se poser 
la question suivante : 
Construire la surface minima qui admet pour ligne 
asymptotique une courbe donnée de M. Bertrand. 
Lia considération de la surface minima adjointe permettra, 
lorsque ce problème aura été résolu , d'avoir la solution de 
celui-ci : 
Construire la surface minima admettant pour ligne de 
courbure une courbe sphérique donnée, connaissant, en 
outre, l'angle constant suivant lequel la surface cherchée 
doit couper, en tous les points de cette ligne, la sphère qui 
la contient. 
Ce second problème sera effectivament ramené au premier, 
après que l'on aura obtenu, au moyen des trois quadratures indi- 
* Leçons sur la théorie générale des surfaces, par M. Dardoux, 
l^e partie. 
