THÉORIE DES COURBES GAUCHES. 259 
quèes dans les équations (21) ou (21'), la courbe de M. Bertrand 
relative à la ligne sphérique et à l'angle donnés. 
Nous nous occuperons donc exclusivement du premier des 
deux problèmes ci-dessus énoncés. La solution que je vais expo- 
ser et qui terminera cette étude repose sur un résultat élégant, 
trouvé par M. Bioche * et qui consiste en ceci : 
Si l'on a une courbe de M. Bertrand, on obtient une surface 
applicable sur une surface gauche de révolution en menant par 
les différents points de cette courbe des parallèles aux bi-nor- 
males de la courbe conjugée, de telle sorte que la courbe donnée 
correspond au cercle de gorge et que, dans les deux surfaces 
réglées, les génératrices sont également correspondantes. 
22. En conséquence, considérons une courbe (0) de M. Ber- 
trand, relative aux constantes h et a de l'équation (6). Par cha- 
que point de (0) menons la parallèle OF à la bi-normale de la 
courbe conjuguée (Oj). Cette droite, perpendiculaire au plan 
osculateur de (Oj) qui fait avec celui de (0) l'angle constant a , 
sera située dans le plan rectifiant de (0) et fera, avec la tan- 
gente OX , l'angle a. -\- — . D'après le théorème de M. Bioche, 
la surface réglée engendrée par la droite OF est applicable sur 
l'hyperboloïde de révolution ayant h pour rayon du cercle de 
gorge et dont les génératrices rectilignes font l'angle a avec 
l'axe. 
Portons maintenant notre attention sur les parallèles imagi- 
naires de rayons nuls de cet h34perboloïde , lesquels ont pour 
centres les sommets imaginaires situés sur l'axe de révolution 
et interceptent sur les génératrices, à partir du cercle de gorge, 
Tii 
des segments égaux a dr -: — , c est-a-dire a la distance du cen- 
sm a 
tre aux foyers de la méridienne situés sur l'axe non transverse. 
A ces parallèles correspondent, sur la surface réglée construite 
par le procédé de M. Bioche, deux lignes de longueur nulle, 
interceptant pareillement sur les génératrices de cette surface 
* Ihid., 3e partie, ou Comptes rendus, 1888, p. 829. 
