26CK MÉMOIRES. 
• - , M 
réglée, à partir de (0), des segments égaux a ± -: — • Eu outre, 
les tangentes à ces lignes isotropes aux points w et to' où elles 
coupent la droite OF sont parallèles au plan osculateur de (0) 
en 0, puisqu'il en est ainsi sur la surface gauche de révolution 
elle-même. 
Voici, d'ailleurs, comment on peut vérifier ces résultats. Pre- 
nons sur OF, à partir de 0, deux segments Ow et Ow' égaux, 
l'un à , l'autre à : — . Si nous considérons l'une des 
sin a sin a 
extrémités, w par exemple, ses coordonnées instantanées sont 
cm — M, [xrro, X,z=zhi coi a., 
de telle sorte que les formules (A) donneront, pour les déplace- 
ments du point 0), 
AY rr — hids l- + ^^j — — ids, 
tsZ — o, 
en tenant compte de l'équation caractéristique (6). 
Par suite, le carré de l'élément linéaire de la courbe (w) est 
manifestement nul, ce qui prouve que celte ligne est isotrope, 
et, de plus , la tangente à cette courbe en w est parallèle au plan 
de œy du trièdre instantané, puisque la valeur de Az est nulle. 
On peut donc énoncer la proposition suivante : 
Si, à partir des différents points d'une courbe (0) de 
M. Bertrand, on porte sur les parallèles aux M-normales de 
hi 
la courbe conjuguée des segments égaux a ± -: — , les ex- 
trémités w et w' de ces segm,ents décrivent deux lignes de 
longueur nulle ^ dont les tangentes sont parallèles aux 
directions isotropes du plan osculateur correspondant. 
23. Ceci posé, concevons la surface minima 2, lieu des mi- 
lieux des droites qui joignent les points de (w) à caix de (to'). Je 
dis que 2 est la surface demandée. 
