THEORIE DES COURBES GAUCHES. 261 
D'abord la courbe (0) en fait évidemmeat partie p»isqu'elle 
est le lieu.des milieux des segments ww' . 
, En outre, d'après une propriété connue, le plan tangent à 2 en 
un point O de (0) est parallèle aux tangentes menées en w et w' 
aux lignes (w) et (w'); il est donc confondu avec le plan oscu- 
lateur de (0) qui est parallèle à ces deux tangentes, de directions 
difiérentes d'ailleurs. La courbe (0) est donc une asymptotique 
de I , puisqu'en tous ses points son plan osculateur est tangent 
à la surface. 
Enfin, il n'y a pas d'autre surface minima répondant à la 
question, car, d'après le célèbre théorème de Bjorling, il existe 
une surface minima et une seule admettant pour asymptotique 
une ligne donnée. 
En résumé : 
La surface minima admettant pour asym,ptotique une 
ligne donnée de M. Bertrand est le lieu des m,ilieux des 
droites joignant les points des lignes de longueur nulle obte- 
nues en prenant, à partir de la courbe, sur les parallèles 
aux bi-normales de la courbe conjuguée, des segments égaux 
hi 
à ±-. — . 
sin a 
11 résulte évidemment de cette construction purement géomé- 
trique que la surface minima ayant pour asymptotique une ligne 
de M. Bertrand est algébrique, si cette ligne est elle-même algé- 
brique. 
24. Lorsque la courbe donnée est à courbure constante, l'an- 
gle a est droit et la construction générale s'applique, sans diffi- 
culté, en remarquant que la longueur constante égale, dans ce 
cas, k ±iM doit être portée sur les tangentes de (0) . 
Il n'en est pas de même lorsque la courbe donnée (O) est à 
torsion constante, auquel cas l'angle a est nul et les lignes (w) 
et (o)') sont rejetées à l'infini. La construction indiquée devient 
alors illusoire. 
Nous allons montrer qu'on peut donner du problème proposé 
une nouvelle solution qui convient à tous les cas. 
