THÉORIE DES COURBES GAUCHES. 263 
par suite, la caractéristique sera représentée, dans le premier 
trièdre, par le système d'équation 
Y — iX — hzizO, 
Y' — Y — 2"(X'--X) = 0; 
ou par le nouveau système, 
Y — iX — h = 0, 
Z X ./Y 
lT-f-<!-0-- 
que l'on obtient en remplaçant, dans le précédent, X' — X et 
Y' — Y par leurs valeurs déduites des formules (C). 
A l'aide des dernières équations, on constate aisément que la 
caractéristique passe par les points ayant pour coordonnées 
X=:0, 
Y — h, 
Z = — M cot a , 
X — M, 
Y-0, 
Z =z — hi cot a . 
Le premier de ces deux points est le point w', et la caractéris- 
tique est parallèle à la droite du plan des XY ayant pour coeffi- 
cient angulaire i, de telle sorte qu'elle se confond avec la tan- 
gente à (w') en (1)', comme nous l'avions annoncé. On vériflerajt 
de même la proposition pour l'autre plan isotrope. 
On déduit de ce qui précède la nouvelle solution que voici : 
Étant donné deux courbes de M. Bertrand, conjuguées l'une 
de l'autre : 
1° La surface réglée formée par les parallèles menées des 
points de l'une aux bi-normales de l'autre, définit une con- 
gruence isotrope dont l'enveloppée moyenne est la surface mi- 
nima ayant pour asymptotique la seconde des courbes données ; 
2" La première courbe est une asymptotique de la surface 
moyenne de cette congruence isotrope, c'est-à-dire de la surface 
lieu des points centraux des droites de la congruence ; 
3° Dans le cas où la courbe de M. Bertrand est à torsion cons- 
tante, les deux courbes conjuguées se confondent, mais la cons- 
truction générale est encore applicable. La surface réglée est 
