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partage A en tranches de n chiffres ... cl)a, ... gfe, ... Ifij, ...tsr 
j'aurai 
^^^ A n ... + ... tsr X 10'" + ... Ihj X lO''' + ••• fffe 
XlO" + •••C&aXlO». 
Dans le second membre de (4), je remplace maintenant succes- 
sivement 10", 102», 10^" ... par leurs valeurs tirées de (3) où je 
fais successivement m :i= 1, 2, 3..., j'obtiendrai ainsi le schéma 
suivant de la représentation du nombre A : 
+ lO''" X 
(5) A = Nx^X 
+ 10" X 
+ tsr X q" 
+ •.. 
-fioox 
+ ... Ikj X q" 
+ ...tsrXq^ 
+ ... 
\ + ... cbaXq" 
+ ...gfey<q° j -\- ... sfeXq' 
+ ...UjXq' { +...lkjxq* 
+ ... tsr X g-M + ." tsr Xq^ 
+ ... \+... 
Le nombre A se trouve ainsi décomposé en deux parties, dont 
l'une, aisée à former sans effectuer de division, est visiblement 
divisible par N. Je déduis de ce schéma (5) de la représentation 
de A les conséquences suivantes : 
1° Le nombre A sera divisible par N si le nombre 
^ — ...cbaxq'^-{■ ... gfexq^+ ...injxq^ -[- ... tsrxq^-\- ..' 
qui est toujours <C A est divisible par N. Dans le cas contraire, 
le reste de la division de A par N sera le même que celui de la 
ivision de A par N . Si A est lui-même un nombre de plus de 
n chiffres, on pourra lui appliquer le même mode de décomposi- 
tion qu'à A, jusqu'à ce qu'on obtienne un nombre de n chiffres 
seulement. On se trouvera donc ramené, pour la recherche du 
reste, à n'opérer de division que sur un nombre de n chiffres au 
plus. Les théorèmes connus sur la divisibilité par 3 et par 9 ne 
sont que des cas particuliers du schéma (5) qui s'en déduisent en 
faisant q zn i , et n :=z i. 
2° La recherche du quotient elle-même se trouve ramenée à 
la seule division d'un nombre de n chiffres par N, puisque toute 
la parenthèse peut se déduire de A simplement par voie d'addi- 
tion et de multiplication. Il suffira pour avoir le quotient complet 
