SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 483 
V, V qui se présentent naturellement dans l'étude de cette con- 
gruence sont celles pour lesquelles les surfaces u m constante et 
ij m constante sont les développables de la congruence; elles 
jouent, par rapport à la congruence, un rôle analogue à celui des 
lignes de longueur nulle dans le cas d'une surface. L'emploi de 
ces coordonnées revient à mettre en évidence le réseau sphérique 
qui esl l'image des développables de la congruence (l'image sphé- 
rique d'une surface d'une congruence de droites étant une 
courbe, trace sur la sphère de rayons parallèles aux droites de 
cette surface). Or, une congruence isotrope a comme propriété 
caractéristique d'admettre comme représentation sphérique de 
ses développables le réseau des lignes de longueur nulle de la 
sphère. On est donc amené, si l'on veut étudier les congruences 
isotropes contenues dans un complexe, à mettre en évidence le 
réseau sphérique précédent; en adjoignant à ce réseau un trièdre 
mobile, on pourra étudier les complexes par le procédé qui a été 
employé avec tant de succès par M. Ribaucour dans le cas des 
congruences de droites. 
Nous commençons par établir des formules relatives à deux 
systèmes coordonnés qui ne sont autres que ceux introduits par 
M. Darboux, au tome I de ses Leçons, dans l'étude des surfaces 
minima. Les formules sont, en partie, des particularisations de 
formules générales données par M. Ribaucour; on y trouvera 
tout ce qui est nécessaire pour passer des axes fixes aux axes 
mobiles, et, par conséquent, pour passer d'une définition quel- 
conque d'un complexe à celle qui est la plus commode lorsqu'on 
veut étudier les congruences isotropes qu'il renferme. 
Parmi les résultats auxquels on est conduit, nous signalerons 
les suivants : 
La recherche des congruences isotropes contenues dans un 
complexe donné est identique à celle des surfaces orthogo- 
nales aux courbes d'une congruence dont on peut former 
aisément les équations différentielles. 
Étant donné un complexe de droites, en général, il n'y 
aura aucune congruence de ce complexe qui sera isotrope. 
Certains complexes contiendront un nombre déterminé de 
congruences isotropes. 
