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4. Formules générales. 
On remarquera que les formules finales donnant hœ, Sy, hz ne 
diffèrent dans les deux systèmes coordonnés que par la valeur 
de \: nous allons rattacher les deux séries de formules à des 
formules plus générales, qui ne seront autres que celles déjà 
développées par M. Ribaucour. (Mémoire sur la Théorie géné- 
rale des surfaces courbes, chap. v. — Journal de mathéma- 
tiques pures et appliquées, 1891.) 
Supposons d'abord qu'on prenne comme surface de référence 
une sphère de rayon unité, cette sphère étant rapportée à un 
système de coordonnées symétriques pour lesquelles son élément 
linéaire a la forme réduite : 
# 
ds'^ — ^\^dudv. 
Nous lui associons le trièdre de référence (T), qui admet pour 
axe des z la normale à la surface, pour axe des x la tangente à 
la courbe : 
u — V :=z const. , 
et pour axe des y la tangente à la courbe orthogonale : 
u -\- vziz const. 
Il reste à chercher ce que deviennent les formules (A'^) et 
(B^^) de la page 374 du tome II des Leçons de M Darboux. 
La surface de référence étant une sphère, il faut adjoindre les 
relations : 
p —iq = 0, Pi + iqt = 0, 
qui expriment que l'équation des lignes de courbure est indéter- 
minée. 
On pourra aussi écrire que les deux racines de l'équation aux 
rayons de courbure principaux sont égales à — 1 , et il vient : 
Pi—p — îq — iqizz — - {pQi — qp^) , 
