SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 499 
singulières du complexe. Elles forment une congruence qui est 
dite la congruence des droites singulières. 
Sur une droite singulière D, il y a un point F satisfaisant à 
la question posée et dont le z est défini par les équations {a). 
Toutes les congruences du complexe qui passent par la droite 
singulière D ont des surfaces focales passant par un même point 
F de D et admettant en ce point le même plan tangeni P. En 
particulier, considérons la congruence du complexe formée par 
les droites singulières : si l'on donne le nom de surface de sin- 
gularités à la surface lieu du point F , on voit que la surface de 
singularités est une des nappes de la surface focale de la con- 
gruence des droites singulières; au point F, la surface de sin- 
gularités admet pour plan tangent le plan P . 
2° Une droite I) du complexe étant considérée, peut-on trouver 
un point sur cette droite tel qu'en ce point toutes les surfaces 
réglées du complexe passant par cette droite aient même plan 
tangent ? 
Si l'on remarque que les surfaces réglées du complexe sont des 
surfaces réglées des congruences du complexe, on voit que le 
problème proposé n'admet de solution que pour les droites sin- 
gulières ; toutes les surfaces réglées du complexe passant par une 
droite singulière D admettent au point F de cette droite le même 
plan tangent P. 
Au reste, il n'y a aucune difficulté à résoudre directement 
cette question. Considérant une droite D (w, v, w), le rapport : 
dy -\- (rdu -\- ridv)x — Xi(du — dv)z 
~~ dœ -i- \{du + dv)z — {rdu + ridv)y 
doit être indépendant de — — et de — , ce qui donne : 
du du 
^y ^y , ^y 
— \- rœ — Xiz - — h r.(v + "/dz - — 
iu ^v ^ ^w 
iœ , ^ ^œ , ^ 'dx ^ 
\-\z — ry — -\- kz — r^y -— 
^u ^v / 3tdJ 
et on retombe sur les équations {a). 
On déduit de ce qui précède les propositions suivantes dont 
l'une nous sera utile : / . - 
