SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 501 
Ces deux équations aux dérivées partielles auxquelles doit 
satisfaire une fonction w cherchée n'ont pas, en général, de solu- 
tion commune. Car, s'il existe une fonction w satisfaisant à ces 
deux équations, les valeurs de -— ( ^ ) et de — ( — ) obtenues 
en dlflférentiant ces équations doivent être égales. Si l'on déve- 
loppe et si l'on remplace — — , -— par leurs valeurs, on trouve : 
du cv 
(3) 
r :) r-i^- 
3 
2iu X 
Su 
d f- i^ 
Jèw X _ 
- 3 / + ^>- 
7> 
-àv X 
'du 
^ f+i<i 
ZJdw X _ 
d 
2u X 
7> /-+«> 
dv X 
2w 
_dw X _ 
'dw X 
d 
dv X 
^u X 
dw 
3 r+i<? 
_dw X _ 
dw X 
1° Supposons d'abord que cette condition ne soit pas vérifiée 
identiquement. Alors, elle fera connaître w et il faudra chercher 
si les valeurs de w qu'elle détermine satisfont aux équations (2); 
en général, les valeurs de w définies par l'équation (3) ne sont 
pas des solutions communes des équations (2). 
Donc : 
Étant donné un complexe quelconque, l'équation (3) n'ayant 
pas lieu identiquement, parmi les congruences du com,pleœe, 
il ne pourra y en avoir qu'un nornbre limAté qui seront iso- 
tropes et qui seront fournies par les valeurs de w qui satis- 
font à cette équation ; mais, si aucune de ces valeurs de w 
n'est solution commune des équations (2), il n'y aura aucune 
congruence du complexe qui sera isotrope. 
2° Supposons maintenant que l'équation (3) soit identiquement 
vérifiée; les deux équations (2) admettront une solution commune 
qui contiendra une constante arbitraire. Ainsi : 
Il existe des complexes particuliers qui sont décompo- 
santes en une infinité de congruences isotropes ; par chaque 
droite du complexe passe une pareille congruence. 
