SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 503 
et si l'on rapporte aux trois axes coordonnés oX, oY, oZ, en 
adoptant, soit les formules du § 2, soit celles du § 3, on a pour 
les équations d'une droite du complexe : 
aX + a' Y + a"Z + 2'k[r{u, w) + ftiv, w)] — 0, 
6X + b'Y + b"Z — 2\i[f{u, w) — f^{v, m?)] = 0, 
d'où l'on déduira aisément les six coordonnées P, Q, R, Pi, 
Qi , Ri , coefficients dans les équations de la droite : 
QZ — RY + Pj zz Q, 
RX — PZ + Qi=:0, 
PY — QX + Ri=rO, 
P.X + Q,Y + RiZ = 0. 
Le ce qui précède, il résulte qu'étant donné un complexe 
de droites, on saura reconnaître par de simples opérations 
s'il est ou non décomposable en une infinité de congruences 
isotropes. 
Dans le cas afftrmatif, la décom,position du complexe en 
congruences isotropes est ramenée , au point de vue ana- 
lytique, à l'intégration du système (2) d'équations aux déri- 
vées partielles, c'est-à-dire , en définitive , à l'intégration 
d'une équation différentielle du prem^ier ordre. 
Nous pouvons faire la remarque suivante : Considérons une 
congruence de courbes et supposons que les courbes qui la com- 
posent soient définies par des équations diiférentielles mises sous 
la forme : 
du dv dw 
^rc \ X / ^i? \ X / 
u, V, w désignant les coordonnées cartésiennes par rapport à 
trois axes rectangulaires. 
Le problèm,e de la recherche des surfaces trajectoires 
orthogonales des courbes considérées est identique à celui de 
la recherche des congruences isotropes contenues dans le 
complexe (1). / 
