SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 509 
Donnons à u une valeur constante, puis à v une valeur cons- 
tante; on voit que, si les fonctions U et V existent, elles doi- 
vent être de la forme : 
\J — a.u'^ -{- ^W + Y, 
où a.p-Y- ai.Pj-Yi sont des constantes. 
L'identité est impossible , à moins que h:=z o , c'est-à-dire à 
moins que le complexe linéaire ne soit spécial. 
Supposons k^ 0. Alors : 
La surface minima correspondante est définie par : 
^i=z2vV -\-2uY — {l +uv)(\J' -^Y'), 
c'est-à-dire : 
^ — 2h(uv — l). 
C'est une sphère de rayon nul ; les coordonnées Xi . Yi . Z, du 
centre sont : 
X, = 0, Y, = 0, Z, — — 2h. 
Si l'on donne à h une valeur particulière , on a la congruence 
isotrope correspondante : 
07 = — 2'kh(u + v), y = 2\hi{u — v). 
Rapportons à oXYZ; les équations d'une droite de la con- 
gruence par rapport aux axes fixes oX . oY . oZ sont : 
aX H- a'Y + a"{Z + 2h)~Q, 
bX + b'Y -f- b"{Z + 2h) = 0. 
C'est une droite passant par le point fixe : 
Xz=:0, Y = 0, Z — — 2h. 
