DÉMONSTRATION D'OH THÉORÈME DE M. PAUL SERRET. 115 
2. La représentation analytique des cubiques à l'aide des fonc- 
tions elliptiques permet de démontrer, comme on va le voir, 
avec la plus grande facilité, les intéressantes propriétés décou- 
vertes par M. Paul Serret. La marche que j'ai suivie est celle 
que M. Picquet a lui-même employée dans un beau mémoire sur 
les polygones à la fois inscrits et circonscrits aux cubiques 
planes*, et dont j'aurai à utiliser quelques résultats. Elle s'ap- 
puie sur la possibilité d'exprimer les coordonnées d'un point 
d'une cubique non singulière, et, plus généralement, de toute 
courbe du premier genre en fonction doublement périodique d'un 
argument u. Dans le cas des cubiques, le mode de représentation 
le plus commode est, sans contredit, celui qui consiste à prendre 
les coordonnées homogènes d'un point de la courbe proportion- 
nelles à des fonctions linéaires des fonctions p(u) et p'(u) **. 
Les raisonnements à l'aide desquels nous nous proposons non 
seulement d'établir, mais encore de compléter les résultats obte- 
nus par M. Paul Serret sont indépendants du mode de représen- 
tation; mais nous rappellerons que, quel que soit le procédé 
adopté, la somme des valeurs des arguments des 3;j. points d'in- 
tersection de la cubique avec une ligne algébrique quelconque 
de degré p est constante, à des multiples près des périodes, la 
valeur de cette constante étant égale au produit \l . to, où w 
représente la somme des infinis de l'une ou de l'autre des coor- 
données. Réciproquement, si la somme des arguments de 3;jl 
points pris sur une cubique est égale à \tw, ces points sont situés 
sur une ligne algébrique de degré ;o.. 
Dans ce qui suit, nous aurons à considérer exclusivement les 
cas où l'entier [x reçoit l'une des valeurs 1 ou 2, et qui sont rela- 
tifs aux droites ou aux coniques. 
3. Afin de parvenir aux résultats dus à M. Paul Serret, pro- 
posons-nous le problème suivant : 
Une cubique (C) étant donnée, inscrire dans celte cow*be 
un pentagone (P) (A,A 2 A 3 A 4 A 5 ), tel que le pentagone dérivé 
' Voir Journal de ï École polytechnique, LPV> cahier, 1883. 
*" Voir le Traité des fonctions elliptiques d'Halphen, t. II, pp. 413 
et suiv. 
