DÉMONSTRATION D*US THÉORÈME DE M. PAUL SERRET. 117 
qui se réduisent visiblement à quatre, comme les premières (1), 
puisqu'en les ajoutant membre à membre on obtient une identité. 
Il en résulte que, à des multiples près des périodes, les argu- 
ments w, , w 2 , w 3 . w 4 , u b des sommets d'un pentagone répondant 
à la question forment une progression arithmétique; en sorte 
que, si l'on appelle h la raison de cette progression, ces argu- 
ments auront pour valeurs : 
», , 
m 2 = «r + * , 
u 3 = m, + 2h , 
M t = W| + dh , 
M 3 EE U t -f kh , 
la raison h étant déterminée par la condition qu'une des équa- 
tions, la cinquième, soit satisfaite, ce qui donne 
5A = 0, 
ou, en introduisant explicitement les multiples des périodes, 
Pm -f- p'm' 
(4) h 
p et p' étant des nombres entiers arbitraires. 
Il résulte de là que l'argument u { du premier sommet k t peut 
être pris arbitrairement et que les autres sont déterminés par les 
formules (3), où h est définie par (4). Pour un sommet A, le nom- 
bre des solutions n'est pas cependant illimité, car on voit du 
premier coup qu'il suffit de donner kp et p' cinq valeurs entières 
consécutives, par exemple 0, 1, 2, 3, 4, puisque au delà les 
valeurs de h se reproduisent à des multiples près des périodes. 
D'autre part, les valeurs p =r p' — 0, fournissant un pentagone 
se réduisant à un seul sommet w,, doivent être rejetées. On voit 
donc que tout point A, pris sur une cubique non singulière est le 
