118 MÉMOIRES. 
premier sommet d'un nombre déterminé* de pentagones inscrits, 
réels ou imaginaires, d'ailleurs, tels que les pentagones dérivés 
soient inscrits à la même courbe, les sommets des pentagones 
primitifs (P) ayant leurs arguments en progression arithmétique 
dont la raison est la cinquième partie d'une somme de multiples 
des périodes. 
Ici se place une remarque qui nous sera utile quand nous vou- 
drons revenir aux énoncés sous la forme que leur a donnée 
M. Paul Serret, et qui résulte de ce que les équations (2) se 
réduisent à quatre, comme nous l'avons déjà dit. 
Donc, si un pentagone (P) inscrit dans une cubique est tel que 
quatre des sommets du polygone dérivé (P') appartiennent à 
cette cubique, le cinquième sommet de (P') sera pareillement 
situé sur la courbe. 
5. Considérons- maintenant celle des solutions (réelles ou ima- 
ginaires) du problème qui correspond à une valeur de h, c'est- 
à-dire à un système de valeurs entières de p et p', et formons la 
série des polygones dérivés successifs (P'), (P") . . . 
On a d'abord, d'après les équations (1) : 
u\ — w — 2t«i — 5/2 = w — 2u t , 
v!izz.w — 2wi — 2h = w — 2u 2 , 
(5) { u\ = w — 2u i — kh = w — 2t«3 , 
u' /t =iw — 2u { — 6h = w — 2Wj , 
u\ — w — 2u t — 3h = w — 2w 5 . 
Il en résulte immédiatement que le pentagone (P') est le tan- 
gentiel de P, car, par exemple, le sommet A'i homologue de A ( 
est, d'après la première des équations (7), le point où la tangente 
à la cubique en A, rencontre de nouveau la courbe, puisque 
2u t -\-u\ = w, 
et ainsi des autres. 
* Nous examinerons plus loin quel est le nombre des pentagones 
distincts répondant à la question et qui ont un même sommet ini- 
tial A 4 . 
