DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME DE II. PAUL SERRET. 121 
7. Le nombre des solutions relatives à un point A, de la cubi- 
que est aisé à déterminer. Il semble, au premier abord, que ce 
nombre soit égal à 25. Mais comme il faut supprimer, d'après ce 
que nous avons déjà dit, la solution qui correspond aux valeurs 
p = p' = 0, le nombre cbercbé est déjà réduit à 24. 
Je dis que ce dernier nombre doit lui-même être divisé par -4, 
en sorte que le nombre total des solutions véritablement dis- 
tinctes est égal à 6. 
La valeur (5) de la quantité h nous montre, en premier lieu, 
que les pentagones dont les arguments des sommets correspon- 
dent aux raisons h, 2h, 3h, kh sont identiques au premier d'entre 
eux ou au pentagone étoile de celui-ci, car on les déduit de ce 
pentagone en joignant ses sommets de deux en deux, de trois en 
trois, de quatre en quatre. D'après la définition du n° 1, tous ces 
pentagones ont un même pentagone dérivé et constituent, par 
suite, une solution unique. Ce qui précède prouve déjà que les 
quatre pentagones correspondant à la valeur p = et aux diver- 
ses valeurs de p' donnent une seule solution, et qu'il en est de 
même des pentagones, d'ailleurs distincts généralement des pré- 
cédents, qui correspondent à la valeur p' — et aux diverses 
valeurs de p. Si l'on considère maintenant les quatre pentagones 
correspondant à la valeur p = 1 et aux diverses valeurs de p\ 
on reconnaît immédiatement que ces polygones sont distincts 
entre eux, distincts de ceux dont on vient de parler, mais qu'ils 
se confondent successivement avec les douze pentagones fournis 
par les valeurs 2, 3, 4 de p, associées aux valeurs 1, 2, 3, 4 de p', 
parce que les valeurs successives de h sont doubles, triples ou 
quadruples des premières, à des multiples près des périodes. 
En définitive, le nombre des solutions distinctes est égal à six, 
c'est-à-dire que tout point A, pris sur la cubique est le point de 
départ de six séries de pentagones possédant les propriétés énon- 
cées à la fin du numéro précédent. 
8. Le cas où le point initial A, est un point d'inflexion de la 
cubique (C) doit être signalé. Nous allons montrer que dans ce 
cas chacune des six séries de pentagones comprend un seul poly- 
gone dont les sommets A 2 et A s sont sur une droite passant par 
