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Aj, et les deux autres sommets A 3 et A 4 sont pareillement situés 
sur une droite passant encore par A,. 
Remarquons d'abord que le point A, étant un point d'inflexion 
de (C), ce point coïncide avec son tangentiel A',, et, dès lors, 
d'après la définition géométrique de (P'), les côtés A 2 A 5 et A 3 A 4 
de (P) doivent passer par A,. Le tangentiel A' 2 de A 2 est à l'in- 
tersection de A t A 3 avec A 4 A 5 ; il se confond donc avec A 4 . De 
même, les tangentiels respectifs de A 3 , A 4 , A 5 sont respective- 
ment A 2 , A 5 , A 3 . Il en résulte que le polygone (P') a les mêmes 
sommets que (P) et que ces sommets successifs sont A,A 4 A 2 A 5 A 3 , 
c'est-à-dire ceux de (P) pris de trois en trois. Pour la même 
raison, les sommets successifs de (P") sont A! A 5 A 4 A 3 A 2 ; ceux de 
P'", A^gAjAaA^j, et, enfin, ceux de (P IV ) reproduisent les som- 
mets de (P) dans leur ordre. Cette conclusion résulterait aussi 
de ce que l'argument u { du point 'd'inflexion A, a une valeur de 
la forme — -j , h et h' étant deux nombres entiers 
o o 
auxquels il suffit de donner les valeurs 0, 1, 2 pour obtenir les 
arguments des neuf points d'inflexion de la cubique (G). 
9. On voit par là que pour chaque point d'inflexion les six 
séries récurrentes de pentagones dérivés ne renferment chacune 
qu'un seul polygone. On peut se demander si ce cas est le seul 
dans lequel ces séries sont fermées, ce qui revient à dire que l'un 
des pentagones (P") doit coïncider avec le pentagone initial. 
Cherchons la condition pour que le (n -f- l) ème polygone (P n ) 
coïncide avec (P). Il est nécessaire et suffisant évidemment que 
le sommet A, coïncide avec son n tangentiel A.*n ce <ï u i exige* 
que l'on ait 
_ w pu + p'm' 
Ul ~ T + 2» + 1 ' 
p etp' étant deux entiers arbitraires, ou bien encore que A, soit 
l'un des sommets d'un polygone de n côtés à la fois inscrit et 
circonscrit à la cubique (C)**. 
* Voir Picquet, loc. cit., p. (7). 
** Pour chaque valeur de n, ces polygones sont en nombre déter- 
miné. Ibidem, p. 9. 
