DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME DE M. PAUL SERRET. 123 
Dès lors, si l'argument du point A, est de la forme ci-dessus, 
c'est-à-dire si l'on peut déterminer des nombres entiers p, p', n, 
de manière que cette équation soit satisfaite, chacune des six 
séries récurrentes de pentagones ayant Ai pour sommet initial 
sera fermée et composée de n polygones. ■ 
Dans le cas contraire, chacune de ces séries se composera d'un 
nombre infini de pentagones dont les sommets parcourront la 
courbe sans tendre vers des positions limites, attendu que le n ème 
tangentiel de m,, par exemple, a pour argument 
«; = - + (-2)" («,--) 
10. Nous avons supposé jusqu'à présent que la courbe (C) n'a 
pas de point double. Il nous reste donc à résoudre le problème 
proposé dans le cas des cubiques singulières. 
On sait que si la cubique est cuspidale, on peut choisir le 
triangle de référence de telle sorte que les coordonnées homogè- 
nes d'un point de la courbe soient proportionnelles à t* 3 , u, 1, 
en sorte que dans ce cas à chaque point de la courbe correspond 
une seule valeur de l'argument u, contrairement à ce qui a lieu 
dans le cas général. 
La somme des valeurs de l'argument u est nulle pour trois 
points de la courbe situés en ligne droite. Les équations du pro- 
blème sont donc encore les équations (1), avec cette circonstance 
que la constante w est nulle et que l'on a des équations ordinai- 
res, puisque dans ce cas il n'y a pas de fonctions périodiques. 
Ces équations conduisent à la valeur h zzO, d'où l'on déduit 
M, Z= Ht = . . . %, 
à laquelle correspond un pentagone se réduisant à un point. 
Donc, le problème n'a pas de solution proprement dite lorsque 
la cubique a un point de rebroussement. 
Supposons maintenant que (C) possède un point double à tan- 
" Picquet, loc. cit., p. 4. 
