124 MÉMOIRES. 
gentes distinctes. Si ce point double est isolé, les coordonnées 
d'un point quelconque de la courbe peuvent s'exprimer ainsi : 
x y z 
isin' 3 u sin u cos u 
c'est-à-dire au moyen de fonctions de l'argument u ayant une 
seule période égale à %. La somme des arguments de trois points 
en ligne droite est nulle, à un multiple près de la période u. 
Les équations du problème sont les équations (1) où l'on fera 
w — 0. Comme dans le cas général, ces équations se réduiront à 
quatre; de telle sorte que l'on pourra prendre encore arbitraire- 
ment l'un des sommets du pentagone initial, Ai par exemple, les 
arguments des autres sommets étant exprimés comme il suit au 
moyen de l'argument u x du premier : 
u lt u 2 — u { -f h, ^«3 = u { + 2h, u /t — u { -f- 3h, Uç. zz u t + M> 
après avoir posé 
p désignant un nombre entier quelconque auquel il suffira de 
donner les valeurs 1, 2, 3, 4 pour avoir toutes les solutions du 
problème. 
Le nombre de solutions se réduit ici à l'unité, ce qui signifie qu'à 
tout point Ai de (C) correspond un seul pentagone inscrit tel que 
le pentagone dérivé (P') soit inscrit à la même courbe, puisque 
les diverses valeurs de h sont des multiples de la première d'entre 
elles. Enfin, on voit immédiatement, sans qu'il soit nécessaire de 
recommencer les raisonnements déjà faits, que les propriétés 
énumérées au n<> 7 pour le cas général subsistent entièrement 
pour la série indéfinie des pentagones (P) (P') (P") . . . formés 
suivant la même loi de dérivation successive. 
Dans le cas où les tangentes au point double sont réelles et 
distinctes, on peut représenter ainsi qu'il suit les coordonnées 
d'un point quelconque de (C) : 
x _ y z 
1 — e 3« e iu e u 
