DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME DE M. PAUL SERRET. 125 
les fonctions de l'argument ayant la période imaginaire 2zi. La 
somme des trois valeurs de u est encore nulle pour trois points 
en ligne droite. On arrivera donc à la même conclusion que 
dans le cas précédent, toutefois avec cette différence que les pen- 
tagones de la série ont tous leurs éléments imaginaires à l'excep- 
tion du sommet Ai et de ses tangentiels. 
Donc, en résumé, si l'on met de côté le cas des cubiques cus- 
pidales, tout point A, d'une cubique singulière est le sommet 
initial d'une seule série de pentagones dérivés les uns des autres 
et présentant toutes les propriétés établies dans le cas des cubi- 
ques singulières. La série peut être elle-même illimitée ou 
fermée. Ce dernier cas se présente quand le point A, est le som- 
met d'un polygone à la fois inscrit et circonscrit, ce qui exige 
que la valeur de u t soit de la forme 
»0) 
2p+ 1 
u) désignant la période et p un entier. 
11. Le théorème de M. Paul Serret est une conséquence 
immédiate des résultats précédemment obtenus et d'une remarque 
faite à la fin du n° 4. 
Considérons un pentagone (P) et la série des pentagones déri- 
vés successifs (P'), (P") . . . 
Il existe une cubique bien déterminée (C), singulière ou non 
singulière, circonscrite à (P), et contenant quatre sommets de 
(P';. D'après la remarque que je viens de rappeler, cette cubique 
contenant les sommets de P et quatre des sommets du pentagone 
dérivé passera par le cinquième sommet de (P'). Étant circons- 
crite à (P) et (P'), elle sera circonscrite à tous les pentagones de 
la série, qui posséderont, par suite, les propriétés démontrées 
dans la discussion du problème, et dont l'ensemble constitue 
l'énoncé de II. Paul Serret. 
La cubique (C) pourra être singulière ou non; en tout cas, 
d'après ce qu'on a dit au commencement du n° 10, cette courbe 
ne saurait être cuspidale. 
