126 MÉMOIRES. 
12. D'après la définition géométrique des pentagones dérivés, 
un pentagone n'a qu'un seul dérivé. Je me propose de faire voir 
qu'inversement un pentagone est le pentagone dérivé de quatre 
autres pentagones tous inscrits avec le premier dans une même 
cubique. 
Soit donc à construire le pentagone (P) ayant pour pentagone 
dérivé un pentagone donné (P'). 
Supposons le problème résolu et construisons le pentagone (P") 
dérivé de P'. D'après le théorème de M. Paul Serret, les penta- 
gones (P), (P'), (P") sont inscrits à une même cubique (C), qui 
d'ailleurs est déterminée puisqu'on en connaît dix points, savoir 
les sommets de (P') et ceux du pentagone dérivé (P"). 
De plus, le point a, centre d'homologie de (P) et (P"), a pour 
tangentiel le point et! centre d'homologie de (P'j et (P'"), lequel 
est déterminé par une construction linéaire, attendu que (P'") 
est le pentagone dérivé de (P"). 
Réciproquement, si du centre d'homologie a' de (P') et (P'"), 
situé sur la cubique (C), on mène à cette cubique une tangente 
dont le point de contact soit a, les droites qui joignent ce point a 
aux sommets du pentagone (P") couperont de nouveau (C) en 
des points qui seront les sommets d'un pentagone (P) admettant 
(P') pour pentagone dérivé. 
Il suffit, à cet effet, de démontrer que les sommets de (P') sont 
les tangentiels des sommets de (P), ou qu'en désignant par les 
notations déjà employées les arguments des sommets de ces 
polygones, on a la relation 
2Uk + u' k = w (h =z 1, 2, 3, 4, 5). 
Or, d'après la construction même, on a les relations : 
2u a -|- w'« = t# , 
Uk + u"k + u* = w, 
2u'k + u"k = w, 
et, de plus, 
