DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME DE M. PAUL SERRET. 127 
puisque le point %' est le sixième point d'intersection de (C) avec 
la conique circonscrite à (P'). L'élimination de u'«, uï, w« entre 
ces équations conduit immédiatement à la relation qu'il s'agissait 
de démontrer. 
En résumé, le problème de la construction du pentagone (P) 
admettant pour dérivé un pentagone donné (P') est ramené à la 
recherche des points de contact des tangentes menées à la cubi- 
que (C) circonscrite au pentagone (P') et à son dérivé (P") par 
le point a' centre d'homologie de (P') et du pentagone (P'") 
dérivé de (P"). 
Ce dernier problème admet quatre solutions lorsque la cubique 
(C) n'a pas de point double, le point %' d'où sont issues les tan- 
gentes inconnues se trouvant sur la courbe. L'on sait, d'ailleurs, 
que l'on peut construire deux coniques, dont l'une est la conique 
polaire de a' par rapport à (C), qui donnent les points de contact 
par leur intersection mutuelle. 
Donc, il existe, en général, quatre pentagones admettant un 
pentagone donné (P') pour pentagone dérivé, et ces quatre pen- 
tagones sont inscrits dans une même cubique contenant les 
sommets de (P') et de la suite illimitée des pentagones (P"), 
(P'") . . . qui s'en déduisent par dérivations successives. 
Ce nombre de solutions se réduit à deux dans le cas où la 
cubique circonscrite aux pentagones (P') et (P") possède un point 
double, qui d'ailleurs sera isolé si le pentagone P' est réel. 
