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Pour la roulette, c'est une conséquence immédiate des formules 
du calcul infinitésimal; pour la base, il suffit d'appliquer les 
formules (2)'. 
Nous pouvons, en conséquence, énoncer le théorème suivant : 
A l'instant t, la base et. la roulette sont tangentes en I; la 
roulette roule sur la base. 
Réciproquement, si l'on veut réaliser le mouvement con- 
tinu d'un plan sur un plan par le roulement d'une courbe (C) 
sur une autre (C), la seule solution est fournie par la rou- 
lette et la base. 
En effet, les coordonnées x, y d'un point de C seront définies 
par les relations : 
&r = efà?, ly=.dy. 
7. Il reste pour former avec ce qui précède un tout complet à 
indiquer comment se traitera la recherche des enveloppes. 
Construisons, pour chaque valeur t du temps, une courbe (K) 
que nous supposerons, pour fixer les idées, définie, par rapport 
aux axes Ox, Oy correspondant à l'instant considéré, par l'équa- 
tion : 
f(x, */, t) — 0. 
Lorsque t varie, on a ainsi la famille la plus générale de cour- 
bes dépendant d'un paramètre; cherchons l'enveloppe de ces 
courbes. 
Considérons deux fonctions x, y de t vérifiant l'équation 
f(x,y,t)—0; 
elles définissent, à la façon du numéro 3, une courbe (M), lieu 
d'un point M qui, à chaque instant, est situé sur la position cor- 
respondante de (K); pour que la courbe (M) soit l'enveloppe des 
courbes (K), il faut et il suffit que cette courbe (M) soit constam- 
ment tangente à (K), c'est-à-dire que les fonctions x, y vérifient 
la relation : 
*£_ 
Zy _ lœ 
ïx~~ }f_ * 
