SUR UNE FAMILLE DE COURBES GAUCHES. 591 
prend pour pôle le point où la partie positive de l'axe des z ren- 
contre la sphère de rayon 1 ayant son centre à l'origine, et pour 
axe polaire le grand cercle déterminé par le plan des œz, 1. sera 
le rayon vecteur et l'angle polaire d'un point quelconque de 
r .1 
l'indicatrice. Or, le rapport - étant ici constant et égal a — -, 
on voit que l'indicatrice est une spirale d'Archiraède tracée sur 
la sphère, et l'on démontrerait aisément que c'est une courbe 
algébrique lorsque p est un nombre commensurable. 
3. Considérons l'arc s de la courbe, compté à partir d'un point 
x.e. On le déduit de la 
tant pour dz sa valeur, 
dz 
fixe. Ou le déduit de la formule — zz cos X, qui donne, en met- 
ds 
. _ ^cosr(2H-P 2 sin 2 r) 
aS ~ 1 + p* sin 2 Z " 
Il vient 
/*2 -l-p 2 sin 2 Z 
s-- P k ^ p , , ; cos : d: -, 
J 1 -f- p 2 sin 2 Ç 
ce qui peut s'écrire 
L'intégration se fait sans difficulté, et l'on obtient 
s — s = — pk sin l + - arctang {p sin l) , 
s étant une constante arbitraire. L'arc s s'exprime donc sous 
forme finie explicite en fonction de l, quelle que soit la valeur 
de p. 
4. Pour obtenir œ, y, z sous forme explicité, il resterait à 
déterminer les intégrales qui figurent dans les équations (1). Or, 
c'est à quoi l'on parvient lorsque p est un nombre commensura- 
ble, comme nous allons le montrer. Nous remplacerons p par 
m 
— , en désignant par m, n deux nombres entier*. 
