592 MÉMOIRES. 
r 
Posons — = 'C, d'où Ç zz ni', pi — : mÇ', dÇ = ndl'. Les équa- 
lions (1) prennent la forme suivante : 
. rcos ni' sin nl'(2n 2 + m 2 sin 2 ni!) cos wiÇ' 
J w 2 -|- m 2 sin 2 nÇ' 
. r cos w£' sin n£' (2n 2 + wi 2 sin 2 nÇ') sin ml' „, 
(2) < y—mh / S •; \ s/ -dÇ', 
J n l + m 2 sin 2 nÇ 
r cos 2 nÇ' (2n 2 + m 2 sin 2 nÇ') JW 
Zzn — mh / r^: r-T— - dl' . 
\ J n 2 -\- m 2 sin 2 nC 
Mais, m et n étant entiers, on sait que sin ni', cos ni,' , sin mÇ', 
cos mlf peuvent s'exprimer par des polynômes entiers en sin l' 
et cos l'; par conséquent les équations (2) se transformeront de 
telle manière que les multiplicateurs de dl' sous le signe / de- 
viendront des fonctions rationnelles de ces deux lignes trigono- 
métriques. 
Cela fait, on changera de variable indépendante en posant 
/ 
1 — cos XJ 
- u, 
1 -f- cos XJ 
d'où 
1 — u 2 . ... 2u 
cos V = — — , sin Ç' zz 
1 + u 2 ' b 1 -j- u 2 ' 
„„,, 2(1 -n*) du 2du 
cos l'dl' — -\—, — £r- , ^ = 
(1 + u 2 ) 2 ' 1 + u 2 
Par la substitution des expressions de sin l', cos l/, dl' les 
quantités soumises au signe /, dans les équations (2), s'exprime- 
ront rationnellement en u. On en conclut que x, y, z pourront 
s'obtenir sous forme finie explicite en fonction de la varia- 
ble u. La conclusion eût été évidemment la même si la con- 
stante o n'avait pas été supposée nulle, d'après les expressions 
de cos (Ô — pQ, sin (6 — pi) données au numéro 2. 
• Tel est le résultat auquel nous nous proposions de parvenir, à 
1 
l'égard de la famille de courbes gauches a torsion constante - , 
représentées par les équations (1) où p est un nombre commen- 
surable quelconque. 
