SUR UNE FAMILLE DE COURBES GAUCHES. 593 
5. Le cas le plus simple est celui où p = 1, et nous allons 
l'examiner en particulier. 
Les équations (1) s'offrent alors sous la forme suivante : 
X — 
•sin C cos 2 r (2 + sin 2 Q 
(3) 
En posant 
on en déduit 
h J ' 1 - sin* : 
^ /*sin 2 : cos r (2 + sin 2 Q 
«K, 
1 + sin 2 Ç 
;(2 + sje 
+ sin 2 Ç 
dÇ. 
t^-*/"*™*?***. 
V 
1 — cos Ç 
1 + cos ç 
= M, 
cos Ç z= 
1 — u 2 
1 -h M 2 
sin S 
2u 
1 + w 2 ' 
2(u 2 -l)du . r _._ 4u(u 2 -l)du 
cosrrf:zz v /4 , _., x> , sm ^ cos ; dC = — 
(1 + u 2 ) 2 
(1-fu 2 )* 
i r ^r 2(w 2 — l) 2 du 2 + sin 2 Ç 2 (1+ m 2 ) 2 + 4u a 
cos* 1 ; a^ zz 
(i + U 2 )* 
1 + sin 2 C ~~ (1 + m 2 ) 2 + 4u 2 ' 
sin!;cos 2 ;d: = 
_4u(u 2 — l) 2 dit 
(1 + u 2 ) 4 
cos II sin 2 !; ds 
__ 8u 2 (u 2 — \)du 
Au moyen de ces expressions, les équations (3) deviennent 
J (l + u 2 )<[(l + u 2 ) 2 + 4u 2 ] tfa ' 
/ ^ 2 (m 2 -1)[(1 + u 2 ) 2 + 2u 2 ] ^ 
_. k Htt 2 -l) 2 [(l+u 2 ) 2 +2u 
J (1 + t* 2 ) 3 [(1 + M 2 ) 2 + 4M 
du. 
6. Il nous reste à effectuer les intégrations dont dépendent les 
expressions de x, y, z. Mais auparavant nous mettrons les équa- 
tions (4) sous une autre forme, en décomposant en facteurs 
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