SUR UNE FAMILLE DE COURBES GAUCHES. 595 
1° Considérons la première des équations (4). En posant u 2 =v, 
équation devient 
(v — l) 2 ;(1 + t?) 2 + 2v] 
d'où udu = - dv, cette équation devient 
J (1 + v) 4 (1 + v) 2 -f- 4e 
désignons par V le multiplicateur de dt>, qu'il s'agit de décom- 
poser en fractions simples. 
Parmi ces fractions, il y en aura qui auront pour dénomina- 
teurs i -f v ou ses puissances. On les obtiendra en faisant 
1 + 1?:=/*, d'où v — —l-\-fi,v—l~ — 2 + h 1 
et développant V suivant les puissances croissantes de h par une 
simple division. On trouve 
Y (— 2 -M)« (- 2 + 2ft + ft«) 
h*(— 4 + 4/i + h 1 ) 
__ — 8 + 16ft — 6h 2 — 2h 3 + /t 4 
h*(— 4 + 4A + rt 2 ) 
=f( j -*»-1 *•+•••)' 
mais, comme on n'a besoin que des termes contenant h à des 
puissances négatives, nous ne retiendrons de l'expression de V 
que la partie 
1 2 2 
_ (2 _ 2A)= ___. 
Remplaçant h par 1 + », on a 
2 2 
(1 + v Y (1 + vf 
pour la somme des fractions simples contenant en dénominateur 
les puissances de i-j-v. La partie correspondante de la valeur 
de x sera 
_ 8 *r r dv c dv 1 
= ~ Sh h s crh? + î (ït^tJ +" const " 
ou, en remettant u 2 au lieu de v, 
~ 8 * [~ 5 ÏÏTW + ï ÔT5?] + const 
