596 MÉMOIRES. 
Cherchons maintenant les deux fractions simples de la fonc- 
tion V qui ont respectivement pour dénominateurs v -f X 2 , y -\- [x 2 . 
Servons-nous pour cela de la première des équations (5) où u 2 
sera remplacé par y. 
Le numérateur de la fraction correspondante à y + ^ 2 est la 
valeur de la quantité 
(p — l) 2 [(v + l 2 )(v + ix 2 ) — 2v\ 
(1+vnv + y?) 
pour y = — X 2 , c'est-à-dire, en l'appelant A, , 
_ 2X 2 (1 + X 2 ) 2 
A, — 
(1 — X 2 ) 4 ([x 2 — X 2 ) ' 
Pareillement le numérateur correspondant à v + jx 2 sera la 
valeur de la quantité 
(y — l) 2 [(v + K) (v + y?) — 2v] 
(1 + y) 4 (y + X 2 ) 
pour vzz — [x 2 , c'est-à-dire, en la désignant par B t , 
_ 2^(1 + !x 2 ) 2 
1 — (1 — [x 2 ) 4 (X 2 — [x 2 ) ' 
Il en résulte que les fractions simples cherchées sont 
A, B, 
y + X 2 ' y + [x 2 ' 
ce qui donne pour la partie correspondante de l'expression de œ 
= — 4A [A, log (» -|- X 2 ) + B, log (y + [x 2 ) -f const. 
= — 4A[Aj log (w 2 + X 2 ) + B! log (u 2 + [x 2 )] + const. 
Donc enfin la valeur de x est déterminée par l'équation 
(6) œ — œ = — 8â 
1 
3 (1 -f u l f ' 2 (1 + « 2 ) 2 J 
- Ah [A, log (w 2 + X 2 ) + B, log (w 2 + (x 2 )] , 
#o étant une constante arbitraire. 
