SUR UNE FAMILLE DE COURBES GAUCHES. 597 
2° On procédera semblablement pour obtenir la valeur de y. 
Faisons toujours « 2 z»; le multiplicateur de du sous le signe j 
est, en le désignant par V, , 
__ t ,( t ,_ i )-(l +t ,)a + 2 P ] 
1 — (1 -f vf ~(i + vf + Av] ' 
On décompose V, en fractions simples en cherchant d'abord 
celles qui ont pour dénominateurs 1 + v, (l -\- v)*, (1 + v) 3 , 
(t + vf. Pour cela on pose 1 + v := h dans la fonction 
v(v — i) (1 -f- vf + 2v 
(1 + vf + Av 
ce qui donne 
(- 1 + h)(- 2 + *)(- 2 + 2h + A 2 ) 
— 4 + 4/i + * 2 
_ (2 — 3ft + h 2 ) (— 2 + 2ft + A*) 
_ 4 + Ah + h 2 
_ — 4 + iOh — 6h 2 — h 3 4- A 4 
-4 + 4HA 2 
On développe cette dernière quantité par la division suivant les 
puissances croissantes de h, en se bornant aux termes du quo- 
tient qui contiennent h à des puissances négatives; on trouve 
i_ _3 J_ 1 J_ 1 1 
h* 2h 3 ^~Ah 2+ Sh' 
Remplaçant h par 1 + v =: 1 -)- m 5 , on a 
1 3 1 i _1 i 1 
(1 4- w 2 ) 4 2 (i 4- m 2 ) 3 ' 4 (1 4- m 2 ) 2 8 1 4- u 2 ' 
c'est la partie de la fonction V, qui contient 1 -\-v en dénomi- 
nateur, après qu'on y a mis m 2 au lieu de v. 
On en conclut que la partie correspondante de l'expression de 
y est 
_16*r C du -- C du 4-i C du 4-i C du 1 
L'(l+M 2 )* 2.7(1 4-M 2 ) 3i "4*7(14-u 2 ) 2 " h 8Jl4-w 2 J" 
