SUR UNE FAMILLE DE COURBES GAUCHES. 599 
Il en résulte que la partie de l'expression de y, correspondante 
aux deux fractions dont il s'agit, est 
= — IQk (— arctang - H — - arctang — ) + const. 
\A X jx y.) 
En réunissant les deux parties de l'expression de y que nous 
avons déterminées, on obtient l'équation 
n\ — a& T 1 u * u l 1 M 1 
C7; V-^o- -»* [- 4 ff5 - 3 ( i + M *ji + § (1 + tt*)3j 
— 16fc ( -^ arctang - -| — ? arctang - ) , 
\ h A [L p/ 
y étant une constante arbitraire. 
3° IL nous reste à déterminer l'expression de z. En posant 
encore u % zz v, on trouve, pour le multiplicateur de du sous le 
signe f, que nous désignerons par V 2 : 
(t?-i)»[(i+t>y + 2t>] , 
2 (1 +tf) 3 [(l+v) 2 + 4v]' 
il faut le décomposer en fractions simples. 
Pour trouver celles dont les dénominateurs sont 1 -+- v, (1 -f- 1?) 2 , 
(1 -f v) 3 , on posera 1 + v — h et l'on remplacera v par — 1 -f- /i 
dans la fonction 
(p — 1) 2 [(1 + vy-\-2v] 
(1 -|- v) 2 -f Av 
Or, c'est ce que nous avons déjà effectué plus haut pour déter- 
miner la valeur de œ; nous avons trouvé pour résultat : 
— 8 + 16ft — 6ft 2 — 2h 3 + h* ' 
— 4 + 4/* + h 2 
quantité qui développée suivant les puissances croissantes de h 
est devenue 
2-2A — i#+... 
4 
