600 MÉMOIRES. 
Si on la divise par (1 + #) 3 ~ # 3 , et qu'on ne conserve dans le 
quotient que les termes contenant h à des puissances négatives, 
on aura pour résultat 
A A 
h 3 h 2 ' 
Puis, en y remplaçant h par 1 -\- v, on a l'expression 
2 2 
(1 + vf (1 + vf ' 
qui est la somme des fractions simples de la fonction V 2 ayant 
pour dénominateurs des puissances de \ -\- v. Elle devient, en 
remettant u 2 au lieu de v, 
2 2 
(1 + w 2 ) 3 (1 + tff ' 
On en conclut que la partie de la valeur de z, correspondante 
aux deux fractions simples dont il s'agit, est 
_ 4 * [ r 2du _ r 2du ' 
YJ{\ + W>f J(l + w 2 ) 2 J' 
ou, en substituant les valeurs des deux intégrales qu'elle contient, 
- **Lï rr^ + s (T+rff + ï arctang W J 
+ 4ft (7— — r + arctang w ) + const. 
\l + ^ / 
= * [ff* ~ (TRô 5 + arctang "] + coast - 
Considérons maintenant les deux fractions simples de la fonc 
tion V 2 , dont les dénominateurs sont v + X 2 , v -f- [A D'abord le 
numérateur, désigné par A 3 , de la fraction simple correspondante 
à v + X 2 s'obtient en faisant v — — X 2 dans la fonction 
(v — l) 2 [(u + X 2 )(v + ix 2 ) — 2o] 
ce qui donne 
(1 + vf (v + [A 2 ) 
_ 2X 2 (1 + X 2 ) 2 
3 ~(1— X 8 )»(jx 2 — X 8 )' 
