SUR UNE FAMILLE DE COURBES GAUCHES. 601 
En second lieu, on pose v zz — jx 2 dans la fonction 
fo-l)2[(t? + A 2 )(t;+ii. 2 )-2<] 
il+vYiv + X*) 
et le résultat, désigné par B 3 , est 
_ 2^(1 + i. 2 ) 2 
^3 — 
C'est le numérateur de la fraction simple ayant pour dénomina- 
teur v + |X 2 . 
La partie de la valeur de z, qui correspond aux fractions sim- 
ples précédentes, est donc 
/ r A, du f B 3 du \ 
zz — Ah t ^r arctang - H — - arctang - ) -j- const. 
\A A JX [A/ 
Il ne reste qu'à faire la somme des deux parties de la valeur 
de z qu'on vient de déterminer, et l'on obtient l'équation 
(8) z - z, = »( rj _ ;; _ frj _ + arctang u) 
,- /A 3 M , B 3 tt\ 
— Ak ( -^ arctang - H — - arctang — ) , 
z étant une constante arbitraire. 
Par ce qui précède on voit que x, y, z se trouvent exprimés, 
au moyen des équations (6), (7), (8), sous forme finie explicite 
en fonction de la variable u. On remarquera d'ailleurs que, dans 
le cas que nous venons de considérer, c'est-à-dire pour p zz 1, 
on n'obtient qu'une seule courbe répondant à la question, car les 
constantes arbitraires œ , y , z contenues dans ces expres- 
sions n'influent évidemment que sur sa position dans l'espace. 
Mais cette remarque s'applique aussi au cas où j? a une valeur 
quelconque, comme le montrent les équations (1). 
8. On a supposé jusqu'ici que la valeur attribuée à la cons- 
tante arbitraire o était égale à zéro; on va voir que, pour une 
