BILAN DES CARACTÈRES DE DIVISIBILITÉ. 465 
Les ouvrages didactiques du commencement du dix-hui- 
tième siècle s'occupent peu de la divisibilité. Ce n'est que 
dans Berthelot (;'), qui écrivait en 1762, que j'ai pu trouver 
une démonstration de la propriété du nombre 9 qui est à 
peu près celle qu'on rencontre aujourd'hui dans toutes les 
Arithmétiques. Son auteur la fait précéder de cette réflexion : 
« Je ne connais que M. Pascal qui en ait donné la démons- 
tration. > Ce qui me paraît la justification du a nemine 
quod sriam data est de cet auteur. 
C'est ici que je bornerai mes recherches historiques ( qu'il 
m'eût été du reste difficile de pousser plus loin sans me 
déplacer), le dernier mot de la question, en tant que mé- 
thode générale, pouvant, à mon avis, être extrait du travail 
de Pascal, simplement généralisé et étendu. 
Je ne rechercherai donc pas qui. le premier, a donné la 
règle à signes alternatifs de divisibilité par 2 (qui était d'un 
usage courant en 1795 1, ni quel est l'auteur des critériums 
déduits des tranches de trois chiffres du nombre proposé, 
pour 7 et 13, lesquels n'ont été insérés dans les arithméti- 
ques élémentaires que postérieurement à la fin du dix-hui- 
tième siècle. 
Je m'arrêterai cependant un instant aux admirables leçons 
de mathématiques élémentaires de Lagrange (k) à l'École 
normale en 1795, où le grand analyste ne dédaigne pas 
notre modeste sujet. Après avoir préparé le terrain par des 
notions très claires sur les restes, Lagrange donne d'abord 
la méthode de Pascal telle que celui-ci l'a créée; puis il 
passe à la simplification qu'y apporte la substitution de la 
notion du Résidu m suivant le module M, compris 
M M 
entre — g- et + -^ à celle du reste des anciens arith- 
méticiens, compris entre et M. 
Ainsi dans le calcul donné plus haut comme exemple, les 
restes 6, 4 et 5 sont remplacés respectivement par les rési- 
dus — 1, — 3 et — 2. que Lagrange note en les surmon- 
tant d'une barre horizontale. De la sorte, au calcul de Pas- 
cal il substitue la formation à part des nombres 
9 e SÉRIE. — TOMB V. 30 
