BILAN DES CARACTÈRES DE DIVISIBILITÉ. 467 
M. Perrin, dans un Mémoire lu à Y Association française 
en 1889 (Paris, 18 e session, 2 e vol., p. 24), par conséquent 
très peu postérieur à la note de M. Loir, a montré que le 
procédé de ce dernier n'est qu'un cas particulier d'une 
méthode générale qui fournit les caractères de divisibilité 
ne faisant intervenir les chiffres ou groupes de chiffres de 
N (/) que « linéairement >. Ce sont les seuls, comme il le dit 
judicieusement, qui offrent un intérêt réel. 
Il parvient à son but en étudiant la suite des résidus 
minimum, pris suivant le module M, des puissances de 
l'entier q défini par la congruence 
qB = 1 (Mod Mj, 
B étant la base du système de numération. 
L'inspection de cette .suite d'entiers lui fait apercevoir 
ensuite immédiatement les caractères de divisibilité par M 
les plus simples à appliquer dans chaque cas particulier. 
M. Perrin fournit enfin un moyen de calculer le résidu 
minimum du nombre proposé (mod M) (qui s'applique au 
procédé Loir) en résolvant une congruence du premier degré. 
Il fait suivre son Mémoire d'une table des coefficients rela- 
tifs à tous les modules premiers inférieurs à 150, qui est 
fort utile dans l'application, car elle permet d'employer les 
caractères qu'il indique sans qu'on ait besoin de comprendre 
son Mémoire. 
Le travail de M. Perrin, qui enfonce aussi profondément 
que possible dans la musculature des nombres entiers le 
scalpel que nous a légué Gauss, est du plus haut intérêt. Il 
serait, à mon avis, le dernier mot des recherches de ce 
genre si le résidu minimum de X (mod M) découlait immé- 
diatement de sa méthode sans exiger un calcul spécial par- 
fois un peu long. 
La nécessité de ce calcul constitue, en effet, un grave 
inconvénient dans les réductions de congruences, par exem- 
ple, où il importe, pour les ramener à leur forme la plus 
simple, d'obtenir rapidement les résidus des coefficients sui- 
vant le module. 
