DES GROUPES DE SUBSTITUTIONS. 261 
Sj,i substitue respectivement à ttj^ , a^, , a'~ . Ce tableau 
B ne renfermera pas deux éléments identiques dans une même 
ligne*, d'après la définition des substitutions, et jouira par suite 
des propriétés supposées aux carrés B et B' que nous avons 
considérés. Enfin, le groupe correspondant à B se confondra 
avec G, car il est dérivé des substitutions S,, k, par suite des 
substitutions Si.t, puisqu'on a évidemment 
En opérant sur un second groupe G' analogue à G et difTérent 
ou non de G, on pourra former un second tableau B' analogue 
à B. 
Si alors nous formons un carré A tel que l'élément de A 
appartenant à la J*"* ligne et à la i^'^^ colonne soit 
le carré A sera formé avec n^ nombres inférieurs à n}. Il y aura 
à examiner si ces n^ nombres sont distincts ** et si le carré A 
jouit de certaines propriétés, comme par exemple d'être ma- 
gique. 
Plus généralement, on pourra opérer sur un transformé quel- 
conque de G et sur un de G' par des substitutions entre les 
nombres 0, 1, 2, , n— 1, comme on l'aura fait sur G et G'. 
Ce mode de représentation des groupes de substitutions a été indi- 
qué, au moins pour les groupes transitifs dont l'ordre égale le degré, 
par M. Cayley {American Jour. ofMath., t. I et XI, et Meisenger of 
Malh., t. XIXJ. — Voir aussi Euler, CommenlaUones arilhmelicœ, 
t. II, p. 3U--2. Pétersbourg, 18^'i9 {Mémoire de la Société de Flessingue). 
Ce mode de représentation est susceptible de nombreuses exten- 
sions, qui seront étudiées ultérieurement. 
** La condition nécessaire et suffisante pour que le carré A soit 
formé avec n"^ nombres distincts est évidemment que, h étant un 
quelconque des nombres 0, 1, 2, , n — 1, aux n valeurs des a^~' 
I — 1 
égales à b correspondent n valeurs des a^^~J distinctes, ou qu'à un 
alignement formé dans B par les n nombres égaux à h corresponde 
dans B' un alignement de n nombres distincts. 
