DES GROUPES DE SUBSTITUTIONS. 263 
On pourra évidemment, dans le cas du second problème, res- 
treindre l'étendue de la question en supposant que les carrés 
«herchés jouissent de certaines propriétés, comme d'être magi- 
ques ou diaboliques. 
Nous allons, à titre d'exemple, traiter un cas particulier de 
chacun de ces problèmes. 
U. 
Théorème. — Les groupes correspondants à un carré dia- 
bolique de première espèce et de côté n smit fof^iés des puis- 
sances d'une substitution circulaire et de degré n. 
Soit A un carré formé avec les n' nombres 0, 1, 2, ..., n*— 1 : 
/oo fOO 
Il 1 ] 1 1 1 
B { «0 «1 «n-i B' < 'o 'i ^.-1 
•—1 »— 1 «—1 f »— l >l— 1 
les deux carrés correspondants formés comme nous l'avons vu. 
Supposons que pour r et s premiers à n et convenablement 
choisis on ait 
(5) 
l l + l 1 + 2 
quels que que soient t, j, ft, /, les indices j -|- r, j -f 2r, , 
i + 1, I -f 2, , Z -I- 1, / -f 2, , h-\-s, ft H- 2s, étant 
supposés réduits à leur plus petit résidu positif (mod n), lequel 
sera un des nombres 0, 1, 2, , n — 1. 
M. Lucas a montré qu'il existait* pour des valeurs de n de la 
forme 6/i ± 1 des carrés diaboliques satisfaisant aux condi- 
tions (5) et de plus tels que (6) r — 1, r + 1, s — 1. s -f- 1, 
Voir une note sur les carrés diaboliques d'après M. Edouard 
Lucas, publiée par M. Frolow dans une brochure intitulée : Les car- 
rés magiques, nouvelle étude (Gaulhier-Villars, 1886). 
