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7'S — 1 soient premiers à n. Il les a dénommés « carrés diabo- 
liques de première espèce. » 
Nous allons vérifier d'abord que moyennant ces conditions A 
est diabolique. 
En efTet, je dis que dans une même ligne ou colonne de B ou 
de B' les éléments sont tous différents; car, d'après la première 
des égalités (5), l'élément a^. se trouvera répété une fois dans 
chaque colonne et dans les lignes 
J\ J + r, j + 2r, (mod n) de B, 
c'est-à-dire dans chaque ligne, puisque ces n nombres sont 
incongrus (mod n), r étant premier à n. Si donc dans une ligne 
ou une colonne quelconque de B l'élément ai était répété deux 
fois, il serait répété au moins n -\- 1 fois dans B, ce qui est 
impossible, puisque, parmi les nombres 0, 1, 2, ..., n^ — 1 mis 
sous la forme a-{- an indiquée plus haut, il n'y en a que n qui 
conduisent à une valeur identique de a ou de a. On raisonne de 
même sur B', et on voit que dans une même ligne ou colonne 
de A la somme des éléments sera 
0+1+2+ ... +n-l+(0+l+2+ ... +.^_l)n=z&^±ll|i^^^ . 
Il suffit de vérifier le même fait pour les diagonales si l'on 
veut établir que A est diabolique. 
Or, B contiendra deux sortes de diagonales : celles dont les 
éléments seront de la forme 
(7) ai ail\ a^t"-;, 
et celles dont les éléments seront de la forme 
(8) ai <; <^"-;\ 
^ ' » t+l t-\-n—\ 
Considérons, par exemple, le premier type. Si on avait 
a^^ = a^l^ avec X et \}. incongrus (mod n), il faudrait, d'après 
