DES GROUPES DE SUBSTITUTIONS. 265 
le raisonnement que nous venons de faire, et parce que (5; 
donne ici 
que a^^l' fût un des éléments (9) ou que 
1 10) i + |x = j + A + r(|i — X) (mod n), 
puisque 
i + ;j. = e + X + (ix — X). 
La congruence (10) donnerait 
(iJL — X) (r — 1) = (mod w), 
ce qui est impossible puisque /• — 1 est premier à n et que ^ et 
X sont incongrus (mod n). 
Ainsi, chaque diagonale du premier type contient les n élé- 
ments 0, 1, 2, ..., n — 1; il en est de même pour celles du 
deuxième type parce que >* + 1 est premier à n. 
Enfin, le carré B' jouit des mêmes propriétés parce que s — 1 
et s + 1 sont premiers à n. Il en résulte immédiatement que 
dans chaque diagonale de A la somme des n éléments est encore 
(n + l)n(n — l) . •» » * j- u i- 
^ et que par suite A est diabolique . 
/u 
Passons maintenant à la détermination des groupes corres- 
pondants à B et B'. Il en existera deux, aussi bien pour B que 
pour B', puisque chacun de ces carrés ne contient dans aucune 
ligne ou aucune colonne deux éléments identiques, ainsi que 
nous l'avons vu tout à l'heure. 
Déterminons, par exemple, pour B le groupe G dérivé des 
substitutions Si,>. 
Pour avoir la substitution 
* La condition rs — 1 premier à >i exprime que les n^ nombiv.s 
a ^ an sont différents. 
