DES GROUPES DE SUBSTITUTIONS. 267 
lions Sij seront alors formées des substitutions (11) où X prend 
ces mêmes valeurs, c'est-à-dire des puissances d'une substitu- 
tion de la forme (11), où X est premier à n, substitution qui est 
circulaire et de degré n. 
Les mêmes raisonnements permettent de vérifier le même 
fait, aussi bien pour le second groupe correspondant à B que 
pour les deux groupes correspondants à B'. 
Retnarque. — Ce qui précède n'établit pas l'existence des 
carrés diaboliques de première espèce. L'étude du problème 
inverse de celui que nous venons d'examiner permettrait de 
combler cette lacune. Pour ne pas trop nous étendre, nous nous 
contenterons de dire que M. Lucas, dans une note déjà citée, a 
établi cette existence; ajoutons que M. Fontes, dans une note 
manuscrite qu'il a bien voulu nous communiquer et qui est 
mentionnée dans les comptes rendus des séances du Congrès 
pour l'avancement des sciences (Congrès de Pau, séance du 
19 septembre 1892), a traité d'une façon simple ce problème 
inverse pour le cas de n premier*. 
Nous ferons enfin observer que le carré A| de côté 5, cité au 
commencement de notre note, est précisément un carré diabo- 
lique de première espèce. 
m. 
Théorème. — Toute décomposition p, pj ... pi. du nombre 
impair n en p. facteurs donne des carrés magiques de côté n 
qui correspondent à un même groupe dérivé de ^ substitu- 
tions échangeables S„ S,, ..., S,», d'ordres respectifs pi, pj, 
..., pi.. 
Pour simplifier l'exposé, nous nous bornerons au cas de 
|jL =: 2, en remarquant que le cas général se traiterait de la 
même façon. 
Cette note manuscrite a été communiquée à l'Académie des scien- 
ces, insciiptions et belles-lettres de Toulouse. M. Fontes ne prononce 
pas le mot de substitution, bien qu'au fond sa méthode soit basée sur 
l'emploi des substitutions. Voir un résumé de cette note aux comptes 
rendus des séances de l'Académie à la date du 10 mai 1894. 
