268 
MEMOIRES. 
Les résidus positifs (mod n), 0, 1, 2, ..., n — 1, peuvent se 
représenter par l'expression (12) Xi -j- PiW^, où Xi prendra les 
valeurs 0, 1, 2, ..., pi — 1, et œ^ les valeurs 0, 1, 2, ..., p^ — 1. 
Dès lors deux indices ^-j, œ-2^ réduits respectivement à leur plus 
petit résidu positif (mod ^9,) et (mod p^)^ caractériseront un seul 
résidu positif (mod n). 
Si \ Xi; (f (œi) | (mod Pi) et | a\ ; <? (œ^) \ (mod p^) sont des 
substitutions entre Pi et P2 lettres ou indices respectivement, 
l'opération simultanée de ces substitutions, opération qu'on 
pourra représenter par 
(13) 
Xi ; cp(^,) (mod;?,) 
Xq ; ? (xu) (mod p^) 
dans les n résidus (12), constituera une substitution entre ces 
n résidus. 
Ceci posé, considérons le groupe G dérivé des substitutions 
S,= 
Xi ; ^1 + 1 (mod ^i) 
X2 ; X2 (mod P2) 
S2 — 
Xi ; Xi (mod Pt) 
x% ; ^'2 + 1 (mod i?2) 
Ces substitutions sont évidemment échangeables, et les subs- 
titutions de G sont de la forme S"» S^2_ Qn ne peut d'ailleurs 
avoir S"» S^^ =z S" * 8^ ^ que si u^ = u\ (mod ;;,), et u^ = u\ 
(mod i?2) ; G est donc d'ordre n comme il est de degré n; il est 
de plus transitif, car S"» S^^ substitue au résidu le résidu 
Wi + P)y^i qu'on peut rendre égal à un quelconque des résidus 
(12) en choisissant convenablement w-, et u^,- G est donc un 
groupe régulier, en appelant avec Klein groupe régulier un 
groupe transitif et dont l'ordre égale le degré*. 
Les substitutions de G pourront alors s'écrire dans un tableau 
' Cette dénotninalion se justifie par cette propriété qu'un jT^roupe 
transitif et dont l'ordre égale le degré no coiilient, à part l'unité, que 
des substitutions qui déplacent toutes les lettres {Traité des substitu- 
tions, de M. Jordan, pp. 58-G2) et régulières. . 
