DES GROUPES DE SUBSTITUTIONS. 271 
En résumé, X étant donné, par suite a =: résp X, la diagonale 
complète correspondante du deuxième système comprendra les 
nombres X pour u^<a et X — p^ pour w, > a, quand X> j9|, 
et les nombres X pour i«, < a et n + X — i?,, quand X <; Pi. 
Pour celles de ces diagonales où a^iPi — 1, on aura toujours 
Ui < a, en sorte que ces diagonales seront formées exclusive- 
ment chacune du nombre X qui la caractérise. Ceci arrivera 
pour chacune des valeurs de X = Pi — 1 (mod;)|), et, par suite, 
en particulier pour la diagonale principale du deuxième système. 
Ceci posé, au lieu de considérer B, nous allons considérer les 
transformés B*, 'Bt de B par deux substitutions U, U' quelcon- 
ques entre les n résidus, k et h' étant les résidus que U et U' 
substituent à n — 1. B* et B^ seront encore de la forme (1) et 
jouiront de propriétés analogues à celles de B. 
Dans Bi» , substituons pour toute valeur de f la (w — î)*™« 
ligne à la z^™«. ou, si l'on veut, faisons subir à Bf une rotation 
de 180* autour d'un axe parallèle à une ligne de Bf. Nous 
obtiendrons un tableau BV qu'on pourra prendre pourB'; les 
diagonales de première espèce de B' sont constituées par les 
diagonales de deuxième espèce de B»' et inversement. 
Formons le carré A correspondant à B* et BV en le désignant 
par Ai. k'. 
La condition nécessaire et suffisante pour que A*,*- ne soit 
pas formé avec les n^ premiers nombres est qu'on puisse trouver 
2, j^ /, m tels que 
(19) a._^ - a^_^ a._^ = a^_^ ^ t / ou z t w, 
les deux premiers éléments appartenant à B*, les deux derniers 
à BV . 
Or, on a 
(20) a ^_^ _ a._^ + p = a_^ = a^_^ -f- P • 
Soit 
a._^ zz z — 1 = ?/, -f- pyUi a^_^z:zm — 1 z= u\ -f- PxU'-i 
«"T' =./ — ! = l'i + Pa'2 «o"^ = / — l — r', -f- ptv'i 
