274 MÉMOIRES. 
Si n est pair, kk, v ne sera pas formé avec n^ nomWes dif- 
férents. 
Dans le cas particulier où [x = 1, c'est-à-dire où G est formé 
des puissances d'une substitution circulaire d'ordre n et où la 
décomposition p^p-i...p<^ ne comprend qu'un facteur, on peut 
arriver à ce résultat d'une manière plus simple, une diagonale 
complète du deuxième type ayant tous ses éléments égaux. 
La condition nécessaire et suffisante pour que A^t, k' soit formé 
avec les n^ premiers nombres est qu'à tout alignement formé 
dans Bfc par les n résidus égaux à un même résidu corresponde 
dans B'r un alignement de n résidus distincts. Or, n résidus 
égaux entre eux constituent toujours dans B^- une diagonale du 
second type; les n nombres correspondants dans BV consti- 
tuent également une diagonale du second type, et, par suite, ils 
constituaient dans Bt' une diagonale du premier type. Il est 
donc nécessaire et suffisant qu'une diagonale de premier type 
de Bfe' soit formé de n éléments distincts (on pourrait d'ailleurs 
aussi bien chercher à le montrer pour B^, qui n'est qu'un trans- 
formé de Bi'), ou qu'elle n'ait pas deux éléments égaux, c'est- 
à-dire compris dans une diagonale du deuxième type. 
Or il est facile d'établir le lemnie suivant : 
Lemme. — Dans tout carré d'objets (ou de lettres), une dia- 
gonale du premier typé a zéï'O ou deux objets {ou lettres) 
communs avec une diagonale du deuxième type si le côté n 
du carré est pair, et un seul objet {ou lettre) si n est impair* . 
La propriété précédente se trouve donc établie. 
Supposons donc n impair, je dis (^yx'onpeut détet^niner k et 
k' de façon que A a, w soit un carré magique, qui ne sera pas 
diabolique. 
Vérifions d'abord que A*, k' est semi-magique, quels que soient 
1i et h' ; pour cela, considérons, p^ exemple, une ligne, la i^"^^. 
* On vérifie facilement le lenime pour les petites valeurs de n ; en 
admettant qu'il soit vrai pour toutes les valeurs de n inférieures à n', 
on peut voir qu'il a lieu pour n ■=. n' , en remarquant que les diago- 
nales partielles d'une type ont alternativement 1 et éléments com- 
nnin avec une mêm(î diagonale de l'autre type et que les deux diago- 
nales partielles qui forment une diagonale d'un type sont séparées 
par n — 1 diagonales partielles. 
