DES GROUPES DE SUBSTITUTIONS. 275 
La somme des éléments de cette ligne sera égale à la somme S 
des éléments de la i^'^^ ligne de B* + n fois la somme S' des 
éléments de la «^™« ligne de B'v- Par construction, il n'y a dans 
aucune ligne ou aucune colonne de Bt ou B't- deux éléments 
égaux ; on aura donc 
n(n — 1) 
S = S' =0+ 1 +2-h...n-l = — -^3 ■ 
et 
^ (n + l)n(n-l) 
c'est-à-dire que la somme des éléments de la /*«»« ligne de At, t- 
est indépendante de i. On trouverait pour les mêmes raisons 
la même valeur de 2 + wX' pour les colonnes, et, par suite, 
Ai^.f est semi-magique quel que soit k et k'. 
A quelles conditions peut-il être magique? 
La somme des éléments de la diagonale principale du premier 
n(n — 1) 
type de At, *' est 1- k'n^; pour celle du deuxième type, 
n 1 
c'est n"^ — \- kn; il faudra donc et il suffira 
n(n—l) , ^, , n\n — \) , , (n + l)n(n — 1) 
/i li ^ 
_ n{n — \) w'»(w— 1) 
ou 
(24) k' — k — l^--^ . 
On peut dire alors que la condition nécessaire et suffisante 
pour que Ai, *' soit magique est que U et U' remplacent n — \ 
n — 1 
par^-. 
A tout système U,, U', de deux substitutions qui ne sont pas 
respectivement et simultanément égales à U, U' correspondra 
