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un carré magique différent de A^, r, puisque un des carrés ana- 
logues à B* ou BV contiendra quelque part un résidu différent 
du résidu qui occupe la même place dans B* ou B'r . 
En désignant par «, t», c. ... les lettres ou nombres que U 
substitue à n — 2, ..., 1, 0, par a\ &', c', ... les nombres que U' 
substitue à w — 2, ..., 1, et faisant figurer ces lettres dans le 
carré A^î-, w sans spécifier autrement leur valeur, nous obtenons 
de véritables types de carrés magiques. 
Il nous reste à vérifier que A^, ^ n'est pas diabolique. Pour le 
voir, il suffira de remarquer que, d'après ce qui précède, la 
somme des éléments d'une diagonale complète de A*, i- pour 
1 ,1 -, -1 / j X i. «^ ' 1 ' (n-f-l)n(n— 1) 
laquelle >. = 2?i — 1 (mod ^J ne peut être égale a -^ — ' — -^ 
que si la diagonale correspondante dans B^ ou BV contient les 
n résidus égaux à — - — , ce qui n'a lieu que pour les diagonales 
principales. Le carré Ai, f est donc simplement magique aux 
conditions (24). 
Remarque. — Ce qui précède n'établit pas que quand n est 
pair on ne puisse former des carrés magiques en partant d'un 
groupe G tel que nous l'avons défini ici. Ainsi, quand n ^z. 4 le 
carré diabolique 

13 
6 
11 
4 
3 
8 
5 
9 
4 
15 
2 
7 
10 
1 
12 
correspond à un groupe dérivé des substitutions (01) (23), 
(02) (13), (03) (12), qui est de la forme G. « 
Nous donnons ci-dessous des exemples de carrés magiques 
types auxquels conduit lo procédé que nous venons d'indiquer. 
