SUR UNE FAMILLE DE COURBES GAUCHES, 395 
caractéristique que les normales principales de chacune d'elles 
sont en même temps les normales principales d'une autre- 
courbe. Les coordonnées courantes, pour cette dernière courbe, 
s'obtiennent sous forme finie explicite toutes les fois qu'elles 
s'offrent sous la même forme pour la courbe correspondante. 
1. Considérons une courbe gauche dont la courbure et la 
torsion soient liées par une relation linéaire, et supposons-la 
rapportée à trois axes rectangulaires. Soient, en un point (a:, 
î/, z) de cette courbe, p son rayon de courbure, r son rayon de 
torsion, ^ l'angle que fait sa tangente avec la partie positive de 
l'axe des z. Posons la relation 
P r 
où h et k désignent des longueurs constantes quelconques ; 
admettons en outre que p soit une fonction connue de Ç qu*on 
prendra à volonté. Si, au moyen de ces deux données, on par- 
vient à exprimer œ, y, z en fonction finie explicite de 2;, on aura 
obtenu les équations de la courbe cherchée. 
2. Représentons cette courbe par HK, et soit M un quelcon- 
que de ses points. Menons par ce 
point trois droites, savoir : la tan- 
gente MT, une droite MN normale 
à la courbe, et une droite MZ pa- 
rallèle à la partie positive de l'axe 
des z. Imaginons un triangle sphéri- 
que ABC déterminé par ces trois 
droites et situé sur une sphère d'un 
rayon égal à l'unité, qui aurait pour centre le point M. Ce 
triangle donne 
cos a = cos & cos c -f- sin & sin c cos A ; 
et puisque la droite MN est supposée perpendiculaire à MT, on 
a c =: -, en sorte que la formule précédente devient, en rem- 
plaçant b par C, 
(1) cos a = sin C cos A. 
