SUR UNE FAMILLE DE COLTIBES GAUCHES. 403 
Remarque I. — La réduction de cinq quadratures à trois, 
telle qu'elle vient d'être expliquée, s'applique au cas général où 
les rayons de courbure et de torsion sont liés par une relation 
donnée quelconque. 
En effet, cette relation déterminera r en fonction de p, en 
sorte que - sera une fonction connue de p. En outre, d'après ce 
qui précède, on a la formule 
-}- cot X, sin A 
p d sin A 
r~ dX, 
d^a t/6 , . „ rf6» 
sin ^ ^ + 2 cos C ^ + cos C sin- C ^^ 
zz -—5 , 
où le second membre est une fonction connue de Ç. Elle déter- 
minera donc p en fonction de Ç; et, comme on a 
h=V^ 
d6* 
4 — 1/ 1 + sin» ; —z , 
cos A V rfC» 
on en conclura la valeur de — ^-, qu'on portera dans les équa- 
cos A 
tions (10), qui donnent la solution de la question proposée dans 
le cas général dont il s'agit. 
Remai^que II. — La relation arbitraire qu'on établit entre 6 
et X, n'est autre chose que l'équation en coordonnées polaires 
sphériques de l'indicatrice sphérique de la courbe cherchée. 
Car, si l'on pi end pour pôle le point où la partie positive de 
l'axe des z rencontre la sphère de rayon 1 ayant son centre à 
l'origine, et pour axe polaire le grand cercle déterminé par le 
plan des xz., X, sera le rayon vecteur et 8 l'angle polaire d'un 
point quelconque de l'indicatrice. 
7. Comme application de la méthode qui vient d'être expo- 
sée, admettons qu'on exprime en fonction de Ç par la formule 
p étant un nombre entier quelconque. On a alors 
de _ ^ — n 
