SUR UNE FAMILLE DE COURBES GAUCHES. 405 
l» La dernière s'obtient sans difficulté. On pose sin %:=t^ 
d'où 
cosX(K—dt, fcos : yi+p^smn (K =Jyi + pH^ dt. 
Or, on a 
/ y 1 + pH'' dt- . + / / 
- r-7=^L= + 1 }TT^' 
J fïT¥t^ 
— / yi+pH^ dt , 
et, par suite, 
f Yl-^pH^ dtz=l^t /l + P't^ + ^ log {pt + /TT^) 
-f- const., 
fcostifl + 1>* sin^ î cT: = - sin ç y 1 + p2 sin» : 
+ J- log (p sin : 4- /rr^^'sinÛ) 
2p 
4" const. 
2"^ Le nombre p étant entier et pouvant évidemment être 
supposé positif dans les équations (12), sin p^ et cos pK s'expri- 
ment par des polynômes entiers en sin Ç, cos ^ au moyen des 
formules 
cos p% — cos pX — ^^~ cosi^2 C sin* % + ... 
sin px, = sin Up cos^H — "~ q^~ cos/^ î: sin»: +... | 
La substitution de ces expressions donne, pour les multiplica- 
teurs de h dans les deux premières équations (12), 
